Свойство смежных углов чертеж. Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ - углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d - 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF - также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d - 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Как найти смежный угол?

Математика - древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
Синусы смежных углов всегда равны;
Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.

Как найти смежные углы

Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов

Дана величина основного угла;
Дано соотношение основного и смежного угла;
Дана величина вертикального угла.

Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.

Дана величина основного угла

Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла - сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.

Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Дано соотношение основного и смежного угла

В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:

Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
Общая формула будет выглядеть так - a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.

Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.

Дана величина вертикального угла

Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.

Вертикальный угол - это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.

Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .

Сейтмамбетова Ильвира Алимсеитовна

Тема урока: Смежные углы.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие смежных углов;

Научить учащихся строить смежные углы;

Доказать теорему и следствия из нее;

Рассмотреть разные виды углов.

Развивающие: развитие логического мышления;

Развитие геометрического воображения;

Воспитательные: формирование математической культуры записи решения.

Тип урока: усвоение новых знаний;

Оборудование: модель смежных углов, интерактивная доска

Ход урока

I Организационный момент (приветствие, оглашение темы урока, цели урока учащиеся формулируют самостоятельно)

II Проверка домашнего задания. (разбор выявленных трудностей, выборочная проверка ответов и решений)

III Актуализация опорных знаний и умений

Задание классу

Нарисуйте два дополнительных луча ОА и ОВ (по ходу решения вспомнить определение дополнительных лучей)

Какой угол образуют эти лучи?

Какова его величина?

Нарисуйте луч, проходящий между сторонами развернутого угла

Какой луч считается проходящим между сторон угла? (любой луч, выходящий из вершины угла, отличный от сторон угла)

Сформулируйте аксиому измерения углов (на рисунке изображается луч ОС, цифрами обозначаются углы и делается запись ∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOB

IV Изучение нового материала

Введение понятий ведется таким образом, чтобы учащиеся самостоятельно формулировали определение смежных углов, теорему и пробовали ее доказать.

Введение понятия «смежные углы»

Задание классу (один учащийся работает у доски)

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона

первого из углов является дополнительным лучом стороны второго угла.

Нарисуйте два угла, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные лучи

Вывод: углы, изображенные на последнем чертеже,

являются смежными.

Формулирование определения смежных углов:

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а

две другие – дополнительные лучи.

Устное первичное закрепление

Найти на чертеже смежные углы, и выписать их

а) б)

Задание классу

Учитель на доске строит угол.

Необходимо построить угол, смежный данному. Сколько решений имеет данная задача. Какой вывод можно сделать из рассмотренной задачи?

Свойство смежных углов

Задание классу:

Задача: Даны два смежных угла ∠ BCD и ∠ ACD , причем ∠ BCD = 35 о

Найдите ∠ ACD .

Вариант рассуждений: ∠ AC В развернутый, следовательно, его градусная мера равна 180 о . Луч CD проходит между сторонами этого угла, поскольку он выходит из его вершины и отличен от его сторон. По аксиоме ∠ ACD + ∠ BCD = ∠ AC В, т.е. ∠ ACD + ∠ BCD =180 о . следовательно, ∠ ACD =180 о - ∠ BCD =180 о -35 о =145 о .

Какое свойство смежных углов можно заметить?

Вывод: Сумма смежных углов равна 180 о .

Доказательство теоремы.

Теорема: Сумма смежных углов равна 180 о .

Дано: ∠1 и ∠2 – смежные углы

Доказать: ∠1 и ∠2= 180 о

Доказательство:

По условию, ∠1 и ∠2 – смежные углы, следовательно, СА и СВ – дополнительные лучи (определение смежных углов). Тогда ∠АСВ-развернутый (определение развернутого угла).

∠АСВ= 180 о (аксиома).

Луч CD проходит между сторонами развернутого угла (по определению). Итак, ∠1 и ∠2=∠АСВ, т.е. ∠1 и ∠2= 180 о

Теорема доказана.

Во время изучения некоторых следствий из теоремы и видов углов удобно использовать простую модель смежных углов. Она изготовлена так: к подвижной стороне, закрепленной в вершине смежных углов, с обеих сторон прикреплены сектора. Во время вращения общей стороной оба сектора передвигаются в пазах, проделанных вдоль двух других сторон. С помощью шкал, нанесенных на сектора, демонстрируются смежные углы различной величины.

Следствия из теоремы:

Если два угла равны, то смежные с ними углы равны

Доказательство

Обозначим градусную меру равных углов через х, тогда величина каждого из смежных углов, будет равна 180 о -х, т.е. эти углы будут равны.

Если угол неразвернутый, то он меньше 180 о

Доказательство

Пусть дан произвольный неразвернутый угол ∠( ab ), следовательно, ∠(ab ) не равен 180 о . Построим луч а 1, дополнительный к лучу а. По определению, углы ( ab ) и ( а 1 b ) будут смежными. По теореме ∠ (ab ) +∠ ( а 1 b )= 180 о или ∠ ( а 1 b ) = 180 о - ∠ ( а b ). Предположим, что угол (ab ) не меньше 180 о . Если, что противоречит аксиоме. Это означает, что. Значит, .

Угол, смежный с прямым, является прямым

Доказательство

Угол, равный, называется прямым. Пусть один из смежных углов прямой, т.е. равен. Поскольку, сумма смежных углов равна, то второй угол равен, следовательно, он прямой.

Виды углов (учащиеся уже знают, обобщить по таблице)

V Закрепление новых знаний и умений

Решение задач

Сумма двух углов равна, докажите, что они не являются смежными.

Один из смежных углов, равен, найдите второй угол.

Один из смежных углов на больше, чем второй. Найдите эти углы.

Пусть градусная мера меньшего из двух углов равна х. Тогда больший угол будет равен (х+), а их сумма (х+(х+40)) или (по теореме).

Составим и решим уравнение

х+(х+40)=;

Ответ: и.

Один из смежных углов в 3 раза больше, чем второй. Найдите эти углы.

Один из смежных углов больше, чем второй на. Найдите эти углы.

Замечание: последние две задачи решить двумя способами: с помощью уравнения и без составления уравнения.

Величины смежных углов относятся как 2:3. Найдите эти углы.

Решение (алгебраическим способом)

Пусть градусная мера смежный углов равна х. Тогда больший угол будет равен 3х, а меньший 2х. Их сумма 2х+3х=5х или (по теореме).

Составим и решим уравнение

5х=;

Значит, меньший из смежных углов, равен, а больший.

Ответ: и.

VI Подведение итогов урока. Рефлексия

Является ли верным утверждение: если сумма двух углов равна 180, то они смежные? (Нет, уместно привести контрпример)

Может ли разность двух смежных углов быть равной прямому углу (Да,)

VII Домашнее задание

Две прямые пересекаются. Сколько при этом пар смежных углов образовалось? (ответ: 4)

Найти градусные меры смежных углов, если:

они относятся как 7:29 (ответ);
их разность равна? (ответ);

Выучить определение смежных углов, уметь доказывать теорему о смежных углах и следствия из нее.

На данном уроке мы рассмотрим и уясним для себя понятие смежные углы. Рассмотрим теорему, которая их касается. Введем понятие «вертикальные углы». Рассмотрим опорные факты, касающиеся этих углов. Далее сформулируем и докажем два следствия об угле между биссектрисами вертикальных углов. В конце занятия рассмотрим несколько задач, посвященных этой теме.

Начнем наш урок с понятия «смежные углы». На рисунке 1 изображен развернутый угол ∠АОС и луч ОВ, который делит данный угол на 2 угла.

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рассмотрим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне очевидно, что они имеют общую сторону ВО, а стороны АО и ОС являются противолежащими. Лучи ОА и ОС дополняют друг друга, а значит, они лежат на одной прямой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС являются смежными.

Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными .

Теорема 1: Сумма смежных углов - 180 о.

Рис. 2. Чертеж к теореме 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Данное утверждение является верным, так как луч OL делит развернутый угол ∠MON на два смежных угла. То есть мы не знаем градусных мер ни одного из смежных углов, а знаем лишь их сумму - 180 о.

Рассмотрим пересечение двух прямых. На рисунке изображено пересечение двух прямых в точке О.

Рис. 3. Вертикальные углы ∠ВОА и ∠СОD

Определение: Если стороны одного угла являются продолжением второго угла, то такие углы называются вертикальными. Именно поэтому на рисунке изображено две пары вертикальных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальные углы равны.

Используем рисунок 3. Рассмотрим развернутый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС - ∠ВОС = 180 о - β. Рассмотрим развернутый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD - ∠BОС = 180 о - β.

Из этих соображений мы делаем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогично, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Следствие 1: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

Рис. 4. Чертеж к следствию 1

Поскольку ОL - биссектриса угла ∠ВОА, то угол ∠LOB = , аналогично ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сумма углов α + β равна 180 о, поскольку данные углы - смежные.

Следствие 2: Угол между биссектрисами вертикальных углов равен 180 о.

Рис. 5. Чертеж к следствию 2

KO - биссектриса ∠AOB, LO - биссектриса ∠COD. Очевидно, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сумма углов α + β равна 180 о, так как данные углы - смежные.

Рассмотрим некоторые задачи:

Найдите угол, смежный с ∠АOС, если ∠АOС = 111 о.

Выполним чертеж к задаче:

Рис. 6. Чертеж к примеру 1

Поскольку ∠АОС = β и ∠СOD = α смежные углы, то α + β = 180 о. То есть 111 о + β = 180 о.

Значит, β = 69 о.

Этот тип задач эксплуатирует теорему о сумме смежных углов.

Один из смежных углов прямой, каким (острым, тупым или прямым) является другой угол?

Если один из углов прямой, а сумма двух углов 180 о, то и другой угол тоже прямой. Эта задача проверяет знания о сумме смежных углов.

Верно ли, что если смежные углы равны, то они прямые?

Составим уравнение: α + β = 180 о, но поскольку α = β, то β + β = 180 о, значит, β = 90 о.

Ответ: Да, утверждение верно.

Даны два равных угла. Верно ли, что и смежные им углы тоже будут равны?

Рис. 7. Чертеж к примеру 4

Если два угла равны α, то соответствующие им смежные углы будут 180 о - α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утверждение верно.

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-е изд. - М.: Просвещение.
\Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.

Измерение отрезков ().
Обобщающий урок по геометрии в 7-м классе ().
Прямая линия, отрезок ().

№ 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под редакцией В.А. Садовничего. - М.: Просвещение, 2010.
Найдите два смежных угла, если один из них в 4 раза больше другого.
Дан угол. Постройте для него смежный и вертикальный углы. Сколько таких углов можно построить?
* В каком случае получается больше пар вертикальных углов: при пересечении трех прямых в одной точке или в трех точках?

2)Сколько общих точек могут иметь 2 прямые?
3)Объясните что такое отрезок?
4)Объясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5)Какая фигура называется углом?Объясните что такое вершина и стороны угла?
6)Какой угол называется развернутым?
7)Какие фигуры называют равными?
8)Объясните как сравнить 2 отрезка
9)Какая точка называется серединой отрезка?
10)Объясните как сравнить 2 угла.
11)Какой луч называется биссектрисой угла?
12)Точка С делит отрезок АВ на 2 отрезка.Как найти длину отрезка АВ если известны длины отрезков АС и СВ?
13)Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?
14)Что такое градусная мера угла?
15)Луч ОС делит угол АОВ на 2 угла. Как найти градусную меру угла АОВ если известны градусные меры углов АОС и СОВ?
16)Какой угол называется острым?прямым?тупым?
17)Какие углы называют смежными?Чему равна сумма смежных углов?
18)Какие углы называются вертикальными?Каким свойством обладают вертикальные углы?
19)Какие прямы называются перпендикулярными?
20)Объясните почему 2 прямые перпендикулярные к 3-ей не пересекаются?
21)Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

1сколько прямых можно провести через две точки?

2сколько общих точек могут иметь две прямые?
3обьясните что такое отрезок
4обьясните что такое луч.Как обозначаются лучи?
5какая фигура называется углом? обьясните что такое вершина и стороны угла
6какой угол называется развёрнутым
7какие фигуры называются равными
8обьясните как сравнить два отрезка
9какая точка называется серединой отрезка
10обьясните как сравнить два угла
11какой луч называется биссектрисой угла
12точка с делит отрезок аб на два отрезка.Как найти длину отрезка аб если известны длины отрезков ас и сб
13какими инструментами пользуются для измерения расстояний
14что такое градусная мера угла
15луч ос делит угол аоб на два угла.Как найти градусную меру угла аоб,если известны меры углов аос в соб
16какой угол называется острым?,прямым?,тупым?.
17какие углы называются смежными?чему равна сумма смежных углов?
18какие углы называются вертикальными?каким свойством обладают вертикальные углы
19какие прямые называются перпендикулярными
20обьясните почему две прямые перпендикулярные к третьей не пересикаются
21какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

1)что такое градусная мера угла? 2)какие фигуры называются равными 3)какие углы называются смежными,чему равна сумма смежныхуглов 4)какие углы называются

вертикальными каким свойством обладают вертикальные углы 5)

Помогите плиз, !! плизз=**

7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перепендикулярна одной из двух параллелных прямых, то она перепендикулярна и другой.

9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые.

11. Что такое внешний угол треугольника?

12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

14. Какой треугольник называется прямоугольным?

15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

17. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

19. Что называется расстоянием от точки до прямой?

20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми.