Пусть над случайной величиной с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией произведено независимых опытов, давших результаты – . Вычислим состоятельные и несмещенные оценки для параметров и .

В качестве оценки для математического ожидания возьмем среднее арифметическое опытных значений

. (2.9.1)

Согласно закону больших чисел эта оценка является состоятельной , при величина по вероятности. Эта же оценка является и несмещенной , поскольку

. (2.9.2)

Дисперсия этой оценки равна

. (2.9.3)

Можно показать, что для нормального закона распределения эта оценка является эффективной . Для других законов это может быть и не так.

Оценим теперь дисперсию. Выберем сначала для оценки формулу для статистической дисперсии

. (2.9.4)

Проверим состоятельность оценки дисперсии. Раскроем скобки в формуле (2.9.4)

При первое слагаемое сходится по вероятности к величине , в второе – к . Таким образом наша оценка сходится по вероятности к дисперсии

следовательно, она является состоятельной .

Проверим несмещенность оценки для величины . Для этого подставим в формулу (2.9.4) выражение (2.9.1) и учтем, что случайные величины независимы

. (2.9.5)

Прейдем в формуле (2.9.5) к флуктуациям случайных величин

Раскрывая скобки, получим

. (2.9.6)

Вычислим математическое ожидание величины (2.9.6), учитывая, что

. (2.9.7)

Соотношение (2.9.7) показывает, что величина , вычисленная по формуле (2.9.4) не является несмещенной оценкой для дисперсии . Ее математическое ожидание не равно, а несколько меньше . Такая оценка приводит к систематической ошибке в сторону уменьшения. Для ликвидации такого смещения нужно ввести поправку, умножив не величину . Тогда такая исправленная статистическая дисперсия может служить несмещенной оценкой для дисперсии

. (2.9.8)

Эта оценка является состоятельной также как и оценка , поскольку при величина .

На практике, вместо оценки (2.9.8) иногда удобнее применять эквивалентную оценку, связанную со вторым начальным статистическим моментом

. (2.9.9)

Оценки (2.9.8), (2.9.9) не являются эффективными. Можно показать, что в случае нормального закона распределения они будут асимптотически эффективными (при будут стремиться к минимально возможному значению).

Таким образом, можно сформулировать следующие правила обработки ограниченного по объему статистического материала. Если в независимых опытах случайная величина принимает значения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией , то для определения этих параметров следует пользоваться приближенными оценками

(2.9.10)

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Конспект лекций по математике теория вероятностей математическая статистика

Кафедра высшей математики и информатики.. конспект лекций.. по математике..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Теория вероятностей
Теория вероятностей – раздел математики, в котором изучаются закономерности случайных массовых явлений. Случайным называется явление, которо

Статистическое определение вероятности
Событием называется случайное явление, которое в результате опыта может появится или не появится (двузначное явление). Обозначают события большими латинскими буквами

Пространство элементарных событий
Пусть с некоторым опытом связано множество событий, причем: 1) в результате опыта появляется одно и только одно

Действия на событиями
Суммой двух событий и

Перестановки
Число различных перестановок из элементов обозначается

Размещения
Размещением из элементов по

Сочетания
Сочетанием из элементов по

Формула сложения вероятностей для несовместных событий
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. (1

Формула сложения вероятностей для произвольных событий
Теорема. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

Формула умножения вероятностей
Пусть даны два события и. Рассмотрим событие

Формула полной вероятности
Пусть – полная группа несовместных событий, их называют гипотезами. Рассмотрим некоторое событие

Формула вероятностей гипотез (Байеса)
Рассмотрим снова – полную группу несовместных гипотез и событие

Асимптотическая формула Пуассона
В тех случаях, когда число испытаний велико, а вероятность появления события

Случайные дискретные величины
Случайной называется величина, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения. Случайная величина называется дискретной,

Случайные непрерывные величины
Если в результате опыта случайная величина может принимать любое значение из некоторого отрезка или всей действительной оси, то она называется непрерывной. Законо

Функция плотности вероятности случайной непрерывной величины
Пусть. Рассмотрим точку и дадим ей приращени

Числовые характеристики случайных величин
Случайная дискретная или непрерывная величины считаются полностью заданными, если известны их законы распределения. В самом деле, зная законы распределения можно всегда вычислить вероятность попада

Квантили случайных величин
Квантилем порядка случайной непрерывной величины

Математическое ожидание случайных величин
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Рассмотрим сначала случайную дискретную величину

Среднеквадратичное отклонение и дисперсия случайных величин
Рассмотрим сначала случайную дискретную величину. Числовые характеристики мода, медиана, квантили и математическое ожида

Моменты случайных величин
Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей используются числовые характеристики более высоких порядков, которые называются моментами случайных величин.

Теоремы о числовых характеристиках случайных величин
Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой этой величине. Доказательство:Пусть

Биномиальный закон распределения

Закон распределения Пуассона
Пусть случайная дискретная величина, принимающая значения

Равномерный закон распределения
Равномерным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотности вероятности, которого

Нормальный закон распределения
Нормальным законом распределения случайной непрерывной величины называется закон функция плотност

Экспоненциальный закон распределения
Экспоненциальное или показательное распределение случайной величины применяется в таких приложениях теории вероятностей, как теория массового обслуживания, теория надежности

Системы случайных величин
На практике в приложениях теории вероятностей часто приходиться сталкиваться с задачами, в которых результаты эксперимента описываются не одной случайной величиной, а сразу несколькими случайными в

Система двух случайных дискретных величин
Пусть две случайные дискретные величины образуют систему. Случайная величина

Система двух случайных непрерывных величин
Пусть теперь систему образуют две случайные непрерывные величины. Законом распределения этой системы называется вероятно

Условные законы распределения
Пусть и зависимые случайные непрерывные велич

Числовые характеристики системы двух случайных величин
Начальным моментом порядка системы случайных величин

Система нескольких случайных величин
Полученные результаты для системы их двух случайных величии могут быть обобщены на случай систем, состоящих из произвольного числа случайных величин. Пусть система образована совокупностью

Нормальный закон распределения системы двух случайных величин
Рассмотрим систему двух случайных непрерывных величин. Законом распределения этой системы является нормальный закон расп

Предельные теоремы теории вероятностей
Основной целью дисциплины теория вероятностей является изучение закономерностей случайных массовых явлений. Практика показывает, что наблюдение массы однородных случайных явлений обнаружив

Неравенство Чебышева
Рассмотрим случайную величину с математическим ожиданием

Теорема Чебышева
Если случайные величины попарно независимы и имеют конечные ограниченные в совокупности дисперсии

Теорема Бернулли
При неограниченном увеличении числа опытов частота появления события сходится по вероятности к вероятности события

Центральная предельная теорема
При сложении случайных величин с любыми законами распределения, но с ограниченными в совокупности дисперсиями, закон расп

Основные задачи математической статистики
Рассмотренные выше законы теории вероятностей представляют собой математическое выражение реальных закономерностей, фактически существующих в различных случайных массовых явлениях. Изучая

Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения
Рассмотрим некоторую случайную величину, закон распределения которой неизвестен. Требуется на основании опытных данных о

Статистический ряд. Гистограмма
При большом числе наблюдений (порядка сотен) генеральная совокупность становится неудобной и громоздкой для записи статистического материала. Для наглядности и компактности статистический материал

Числовые характеристики статистического распределения
В теории вероятностей рассматривались различные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты различных порядков. Аналогичные числов

Выбор теоретического распределения по методу моментов
Во всяком статистическом распределении неизбежно присутствуют элементы случайности, связанные с ограниченностью числа наблюдений. При большом числе наблюдений эти элементы случайности сглаживаются,

Проверка правдоподобия гипотезы о виде закона распределения
Пусть заданное статистическое распределение аппроксимировано некоторой теоретической кривой или

Критерии согласия
Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – так называемый критерий Пирсона. Предположи

Точечные оценки для неизвестных параметров распределения
В п.п. 2.1. – 2.7 мы подробно рассмотрели способы решения первой и второй основных задач математической статистики. Это задачи определения законов распределения случайных величин по опытным данным

Доверительный интервал. Доверительная вероятность
На практике при малом числе опытов над случайной величиной приближенная замена неизвестного параметра

Пусть случайная выборка порождена наблюдаемой случайной величиной ξ, математическое ожидание и дисперсия которой неизвестны. В качестве оценок для этих характеристик было предложено использовать выборочное среднее

и выборочную дисперсию

. (3.14)

Рассмотрим некоторые свойства оценок математического ожидания и дисперсии.

1. Вычислим математическое ожидание выборочного среднего:

Следовательно, выборочное среднее является несмещенной оценкой для .

2. Напомним, что результаты наблюдений – независимые случайные величины, каждая из которых имеет такой же закон распределения, как и величина , а значит, , , . Будем предполагать, что дисперсия конечна. Тогда, согласно теореме Чебышева о законе больших чисел, для любого ε > 0 имеет место равенство ,

которое можно записать так: . (3.16) Сравнивая (3.16) с определением свойства состоятельности (3.11), видим, что оценка является состоятельной оценкой математического ожидания .

3. Найдем дисперсию выборочного среднего:

. (3.17)

Таким образом, дисперсия оценки математического ожидания уменьшается обратно пропорционально объему выборки.

Можно доказать, что если случайная величина ξ распределена нормально, то выборочное среднее является эффективной оценкой математического ожидания , то есть дисперсия принимает наименьшее значение по сравнению с любой другой оценкой математического ожидания. Для других законов распределения ξ это может быть и не так.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсии , так как . (3.18)

Действительно, используя свойства математического ожидания и формулу (3.17), найдем

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, оценку (3.14) нужно исправить, то есть домножить на . Тогда получим несмещенную выборочную дисперсию

. (3.19)

Отметим, что формулы (3.14) и (3.19) отличаются лишь знаменателем, и при больших значениях выборочная и несмещенная дисперсии отличаются мало. Однако при малом объеме выборки следует пользоваться соотношением (3.19).

Для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины используют так называемое “исправленное” среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из несмещенной дисперсии: .

Интервальные оценки

В статистике имеются два подхода к оцениванию неизвестных параметров распределений: точечный и интервальный. В соответствии с точечным оцениванием, которое рассмотрено в предыдущем разделе, указывается лишь точка, около которой находится оцениваемый параметр. Желательно, однако, знать, как далеко может отстоять в действительности этот параметр от возможных реализаций оценок в разных сериях наблюдений.

Ответ на этот вопрос – тоже приближенный – дает другой способ оценивания параметров – интервальный. В соответствии с этим способом оценивания находят интервал, который с вероятностью, близкой к единице, накрывает неизвестное числовое значение параметра.

Понятие интервальной оценки

Точечная оценка является случайной величиной и для возможных реализаций выборки принимает значения лишь приближенно равные истинному значению параметра . Чем меньше разность , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число , для которого , характеризует точность оценки и называется ошибкой оценки (или предельной ошибкой).

Доверительной вероятностью (или надежностью) называется вероятность β , с которой осуществляется неравенство , т. е.

. (3.20)

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством , или , получим

Интервал , накрывающий с вероятностью β , , неизвестный параметр , называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой), соответствующим доверительной вероятности β .

Случайной величиной является не только оценка , но и ошибка : ее значение зависит от вероятности β и, как правило, от выборки. Поэтому доверительный интервал случаен и выражение (3.21) следует читать так: “Интервал накроет параметр с вероятностью β ”, а не так: “Параметр попадет в интервал с вероятностью β ”.

Смысл доверительного интервала состоит в том, что при многократном повторении выборки объема в относительной доле случаев, равной β , доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности β , накрывает истинное значение оцениваемого параметра. Таким образом, доверительная вероятность β характеризует надежность доверительного оценивания: чем больше β , тем вероятнее, что реализация доверительного интервала содержит неизвестный параметр.

Основные свойства точечных оценок

Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами.

1. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

Если равенство (22.1) не выполняется, то оценка может либо завышать значение (М>), либо занижать его (М <) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Оценка параметра называется состоятельной, если она подчиняется закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании числа опытов (наблюдений) и, следовательно, выполняется следующее равенство:

где > 0 сколько угодно малое число.

Для выполнения (22.2) достаточно, чтобы дисперсия оценки стремилась к нулю при, т.е.

и кроме того, чтобы оценка была несмещенной. От формулы (22.3) легко перейти к (22.2) , если воспользоваться неравенством Чебышева.

Итак, состоятельность оценки означает, что при достаточно большом количестве опытов и со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра меньше любой наперед заданной величины. Этим оправдано увеличение объема выборки.

Так как - случайная величина, значение которой изменяется от выборки к выборке, то меру ее рассеивания около математического ожидания будем характеризовать дисперсией D. Пусть и - две несмещенные оценки параметра, т.е. M = и M = , соответственно D и D и, если D < D , то в качестве оценки принимают.

3. Несмещенная оценка, которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема, называется эффективной оценкой.

На практике при оценке параметров не всегда удается удовлетворить одновременно требованиям 1, 2, 3. Однако выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение со всех точек зрения. При выборке практических методов обработки опытных данных необходимо руководствоваться сформулированными свойствами оценок.

Оценка математического ожидания и дисперсии по выборке

Наиболее важными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия. Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего оценивают математическое ожидание и дисперсию в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности.

Теорема 23.1. Арифметическая средняя, вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной, которая имеет математическое ожидание M = , является несмещенной оценкой этого параметра.

Доказательство.

Пусть - n независимых наблюдений над случайной величиной. По условию M = , а т.к. являются случайными величинами и имеют тот же закон распределения, то тогда. По определению средняя арифметическая

Рассмотрим математическое ожидание средней арифметической. Используя свойство математического ожидания, имеем:

т.е. . В силу (22.1) является несмещенной оценкой. ?

Теорема 23.2 . Арифметическая средняя, вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной, которая имеет M = и, является состоятельной оценкой этого параметра.

Доказательство.

Пусть - n независимых наблюдений над случайной величиной. Тогда в силу теоремы 23.1 имеем M = .

Для средней арифметической запишем неравенство Чебышева:

Используя свойства дисперсии 4,5 и (23.1), имеем:

т.к. по условию теоремы.

Следовательно,

Итак, дисперсия средней арифметической в n раз меньше дисперсии случайной величины. Тогда

а это значит, что является состоятельной оценкой.

Замечание : 1 . Примем без доказательства весьма важный для практики результат. Если N (a,), то несмещенная оценка математического ожидания a имеет минимальную дисперсию, равную, поэтому является эффективной оценкой параметра а. ?

Перейдем к оценке для дисперсии и проверим ее на состоятельность и несмещенность.

Теорема 23.3 . Если случайная выборка состоит из n независимых наблюдений над случайной величиной с

M = и D = , то выборочная дисперсия

не является несмещенной оценкой D - генеральной дисперсии.

Доказательство.

Пусть - n независимых наблюдений над случайной величиной. По условию и для всех. Преобразуем формулу (23.3) выборочной дисперсии:

Упростим выражение

Принимая во внимание (23.1), откуда

Пусть имеется случайная величина X, и ее параметры математическое ожидание а и дисперсия неизвестны. Над величиной X произведеноn независимых опытов, давших результаты x 1, x 2, x n .

Не уменьшая общности рассуждений, будем считать эти значения случайной величины различными. Будем рассматривать значения x 1, x 2, x n как независимые, одинаково распределенные случайные величины X 1, X 2, X n .

Простейший метод статистического оценивания - метод подстановки и аналогии - состоит в том, что в качестве оценки той или иной числовой характеристики (среднего, дисперсии и др.) генеральной совокупности берут соответствующую характеристику распределения выборки - выборочную характеристику.

По методу подстановки в качестве оценки математического ожидания а надо взять математическое ожидание распределения выборки - выборочное среднее. Таким образом, получаем

Чтобы проверить несмещенность и состоятельность выборочного среднего как оценки а , рассмотрим эту статистику как функцию выбранного вектора (X 1, X 2, X n). Приняв во внимание, что каждая из величин X 1, X 2, X n имеет тот же закон распределения, что и величина X, заключаем, что и числовые характеристики этих величин и величины X одинаковые: M(X i ) = M(X) = a , D(X i ) = D(X) = , i = 1, 2, n, причем X i - независимые в совокупности случайные величины.

Следовательно,

Отсюда по определению получаем, что - несмещенная оценка а , и так как D()®0 при n®¥, то в силу теоремы предыдущего параграфа является состоятельной оценкой математического ожидания а генеральной совокупности.

Эффективность или неэффективность оценки зависит от вида закона распределения случайной величины X. Можно доказать, что если величина X распределена по нормальному закону, то оценка является эффективной. Для других законов распределения это может быть не так.

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия

Так как , где - генеральная дисперсия. Действительно,

Оценка s -- 2 для генеральной дисперсии является также и состоятельной, но не является эффективной. Однако в случае нормального распределения она является «асимптотически эффективной», то есть при увеличении n отношение ее дисперсии к минимально возможной неограниченно приближается к единице.

Итак, если дана выборка из распределения F(x ) случайной величины X с неизвестным математическим ожиданием а и дисперсией , то для вычисления значений этих параметров мы имеем право пользоваться следующими приближенными формулами:

a ,

Здесь x- i - - варианта выборки, n- i - - частота варианты x i , - - объем выборки.
Для вычисления исправленной выборочной дисперсии более удобна формула

Для упрощения расчета целесообразно перейти к условным вариантам (в качестве с выгодно брать первоначальную варианту, расположенную в середине интервального вариационного ряда). Тогда

, .

Интервальное оценивание

Выше мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом. Такие оценки мы назвали точечными. Они имеют тот недостаток, что при малом объеме выборки могут значительно отличаться от оцениваемых параметров. Поэтому, чтобы получить представление о близости между параметром и его оценкой, в математической статистике вводятся, так называемые, интервальные оценки.

Пусть во выборке для параметра q найдена точечная оценка q * . Обычно исследователи заранее задаются некоторой достаточно большой вероятностью g (например, 0,95; 0,99 или 0,999) такой, что событие с вероятностью g можно считать практически достоверным, и ставят вопрос об отыскании такого значения e > 0, для которого

Видоизменив это равенство, получим:

и будем в этом случае говорить, что интервал ]q * - e; q * + e[ покрывает оцениваемый параметр q с вероятностью g.

Интервал ]q * -e; q * +e [ называется доверительным интервалом .

Вероятность g называется надежностью (доверительной вероятностью) интервальной оценки.

Концы доверительного интервала, т.е. точки q * -e и q * +e называются доверительными границами .

Число e называется точностью оценки .

В качестве примера задачи об определении доверительных границ, рассмотрим вопрос об оценке математического ожидания случайной величины Х, имеющей нормальный закон распределения с параметрами а и s, т.е. Х = N(a , s). Математическое ожидание в этом случае равно а . По наблюдениям Х 1 , Х 2 , Х n вычислим среднее и оценку дисперсии s 2 .

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину

которая имеет распределение Стьюдента (или t-распределение) с n = n -1 степенями свободы.

Воспользуемся таблицей П.1.3 и найдем для заданных вероятности g и числа n число t g такое, при котором вероятность

P(|t(n)| < t g) = g,

Сделав очевидные преобразования получим,

Порядок применения F-критерия следующий:

1. Принимается предположение о нормальности распределения генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости a формулируется нулевая гипотеза Н 0: s х 2 = s y 2 о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе Н 1: s х 2 > s y 2 .

2. Получают две независимые выборки из совокупностей Х и Y объемом n x и n y соответственно.

3. Рассчитывают значения исправленных выборочных дисперсий s х 2 и s y 2 (методы расчета рассмотрены в §13.4). Большую из дисперсий (s х 2 или s y 2) обозначают s 1 2 , меньшую - s 2 2 .

4. Вычисляется значение F-критерия по формуле F набл = s 1 2 / s 2 2 .

5. По таблице критических точек распределения Фишера - Снедекора, по заданному уровню значимости a и числом степеней свободы n 1 = n 1 - 1, n 2 = n 2 - 1 (n 1 - число степеней свободы большей исправленной дисперсии), находится критическая точка F кр (a, n 1 , n 2).

Отметим, что в таблице П.1.7 приведены критические значения одностороннего F-критерия. Поэтому, если применяется двусторонний критерий (Н 1: s х 2 ¹ s y 2), то правостороннюю критическую точку F кр (a/2, n 1 , n 2) ищут по уровню значимости a/2 (вдвое меньше заданного) и числам степеней свободы n 1 и n 2 (n 1 - число степеней свободы большей дисперсии). Левостороннюю критическую точку можно и не отыскивать.

6. Делается вывод: если вычисленное значение F-критерия больше или равно критическому (F набл ³ F кр), то дисперсии различаются значимо на заданном уровне значимости. В противном случае (F набл < F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Задача 15.1 . Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил:

По новой технологии:

Предположив, что соответствующие генеральные совокупности X и Y имеют нормальные распределения, проверить, что по вариативности расход сырья по новой и старой технологиям не отличаются, если принять уровень значимости a = 0,1.

Решение . Действуем в порядке, указанном выше.

1. Будем судить о вариативности расхода сырья по новой и старой технологиям по величинам дисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид Н 0: s х 2 = s y 2 . В качестве конкурирующей примем гипотезу Н 1: s х 2 ¹ s y 2 , поскольку заранее не уверены в том, что какая-либо из генеральных дисперсий больше другой.

2-3. Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

Все вычисления оформим в виде следующих таблиц:

u i	m i	m i u i	m i u i 2	m i (u i +1) 2	v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3			-1		-2


å	-
					å	-

Контроль: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = Контроль: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

Найдем исправленные выборочные дисперсии:

4. Сравним дисперсии. Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

5. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид s х 2 ¹ s y 2 , поэтому критическая область двусторонняя и при отыскании критической точки следует брать уровни значимости, вдвое меньше заданного.

По таблице П.1.7 по уровню значимости a/2 = 0,1/2 = 0,05 и числам степеней свободы n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8 находим критическую точку F кр (0,05; 12; 8) = 3,28.

6. Так как F набл. < F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

Выше при проверке гипотез предполагалось нормальность распределения исследуемых случайных величин. Однако специальные исследования показали, что предложенные алгоритмы весьма устойчивы (особенно при больших объемах выборок) по отношению к отклонению от нормального распределения.

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием m и дисперсией D , при этом оба эти параметра неизвестны. Над величиной Х произведено N независимых экспериментов, в результате которых была получена совокупность N численных результатов x 1 , x 2 , …, x N . В качестве оценки математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюдаемых значений

(1)

Здесь в качестве x i рассматриваются конкретные значения (числа), полученные в результате N экспериментов. Если взять другие (независимые от предыдущих) N экспериментов, то, очевидно, мы получим другое значение . Если взять еще N экспериментов, то мы получим еще одно новое значение . Обозначим через X i случайную величину, являющуюся результатом i -го эксперимента, тогда реализациями X i будут числа, полученные в результате этих экспериментов. Очевидно, что случайная величина X i будет иметь такую же плотность распределения вероятности, что и исходная случайная величина Х . Также считаем, что случайные величины X i и X j являются независимыми при i , не равном j (различные независимые друг относительно друга эксперименты). Поэтому формулу (1) перепишем в другом (статистическом) виде:

(2)

Покажем, что оценка является несмещенной:

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно истинному математическому ожиданию случайной величины m . Это достаточно предсказуемый и понятный факт. Следовательно, за оценку математического ожидания случайной величины можно принять выборочное среднее (2). Теперь возникает вопрос: что происходит с дисперсией оценки математического ожидания при увеличении числа экспериментов? Аналитические вычисления показывают, что

где - дисперсия оценки математического ожидания (2), а D - истинная дисперсия случайной величины X .

Из вышесказанного следует, что с ростом N (количества экспериментов) дисперсия оценки уменьшается, т.е. чем больше мы суммируем независимые реализации, тем ближе к математическому ожиданию мы получим оценку.

Оценки математического дисперсии

На первый взгляд наиболее естественной оценкой представляется

(3)

где вычисляется по формуле (2). Проверим, является ли оценка несмещенной. Формула (3) может быть записана следующим образом :

Подставим в эту формулу выражение (2):

Найдем математическое ожидание оценки дисперсии:

(4)

Так как дисперсия случайной величины не зависит от того, какое математическое ожидание у случайной величины, примем математическое ожидание равным 0, т.е. m = 0.