Отрицательный коэффициент регрессии показывает. Коэффициент регрессии

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Виды регрессионных моделей

где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).

Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).

Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона

В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).

Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)

Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1

где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.

Рис. 18. Результаты применения t

Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.

Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).

По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.

Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы

Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1

Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.

Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:

где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :

где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

• Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
• Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
• Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
• Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
• Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
• Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

• Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
• Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
• Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
• Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
• Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
• Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
• Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
• Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.

При наличии корреляционной связи между факторными и результативными признаками врачам нередко приходится устанавливать, на какую величину может измениться значение одного признака при изменении другого на общепринятую или установленную самим исследователем единицу измерения.

Например, как изменится масса тела школьников 1-го класса (девочек или мальчиков), если рост их увеличится на 1 см. В этих целях применяется метод регрессионного анализа.

Наиболее часто метод регрессионного анализа применяется для разработки нормативных шкал и стандартов физического развития.

1. Определение регрессии . Регрессия - функция, позволяющая по средней величине одного признака определить среднюю величину другого признака, корреляционно связанного с первым.

   С этой целью применяется коэффициент регрессии и целый ряд других параметров. Например, можно рассчитать число простудных заболеваний в среднем при определенных значениях среднемесячной температуры воздуха в осенне-зимний период.

2. Определение коэффициента регрессии . Коэффициент регрессии - абсолютная величина, на которую в среднем изменяется величина одного признака при изменении другого связанного с ним признака на установленную единицу измерения.
3. Формула коэффициента регрессии . R у/х = r ху x (σ у / σ x)
   где R у/х - коэффициент регрессии;
   r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у;
   (σ у и σ x) - среднеквадратические отклонения признаков x и у.

   В нашем примере ;
   σ х = 4,6 (среднеквадратическое отклонение температуры воздуха в осенне-зимний период;
   σ у = 8,65 (среднеквадратическое отклонение числа инфекционно-простудных заболеваний).
   Таким образом, R у/х - коэффициент регрессии.
   R у/х = -0,96 х (4,6 / 8,65) = 1,8, т.е. при снижении среднемесячной температуры воздуха (x) на 1 градус среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) в осенне-зимний период будет изменяться на 1,8 случаев.

4. Уравнение регрессии . у = М у + R y/x (х - М x)
   где у - средняя величина признака, которую следует определять при изменении средней величины другого признака (х);
   х - известная средняя величина другого признака;
   R y/x - коэффициент регрессии;
   М х, М у - известные средние величины признаков x и у.

   Например, среднее число инфекционно-простудных заболеваний (у) можно определить без специальных измерений при любом среднем значении среднемесячной температуры воздуха (х). Так, если х = - 9°, R у/х = 1,8 заболеваний, М х = -7°, М у = 20 заболеваний, то у = 20 + 1,8 х (9-7) = 20 + 3,6 = 23,6 заболеваний.
   Данное уравнение применяется в случае прямолинейной связи между двумя признаками (х и у).

5. Назначение уравнения регрессии . Уравнение регрессии используется для построения линии регрессии. Последняя позволяет без специальных измерений определить любую среднюю величину (у) одного признака, если меняется величина (х) другого признака. По этим данным строится график - линия регрессии , по которой можно определить среднее число простудных заболеваний при любом значении среднемесячной температуры в пределах между расчетными значениями числа простудных заболеваний.
6. Сигма регрессии (формула) .
   где σ Rу/х - сигма (среднеквадратическое отклонение) регрессии;
   σ у - среднеквадратическое отклонение признака у;
   r ху - коэффициент корреляции между признаками х и у.

   Так, если σ у - среднеквадратическое отклонение числа простудных заболеваний = 8,65; r ху - коэффициент корреляции между числом простудных заболеваний (у) и среднемесячной температурой воздуха в осенне-зимний период (х) равен - 0,96, то

   

7. Назначение сигмы регрессии . Дает характеристику меры разнообразия результативного признака (у).

   Например, характеризует разнообразие числа простудных заболеваний при определенном значении среднемесячной температуры воздуха в осеннне-зимний период. Так, среднее число простудных заболеваний при температуре воздуха х 1 = -6° может колебаться в пределах от 15,78 заболеваний до 20,62 заболеваний.
   При х 2 = -9° среднее число простудных заболеваний может колебаться в пределах от 21,18 заболеваний до 26,02 заболеваний и т.д.

   Сигма регрессии используется при построении шкалы регрессии, которая отражает отклонение величин результативного признака от среднего его значения, отложенного на линии регрессии.

8. Данные, необходимые для расчета и графического изображения шкалы регрессии
   • коэффициент регрессии - R у/х;
   • уравнение регрессии - у = М у + R у/х (х-М x);
   • сигма регрессии - σ Rx/y
9. Последовательность расчетов и графического изображения шкалы регрессии .
   • определить коэффициент регрессии по формуле (см. п. 3). Например, следует определить, насколько в среднем будет меняться масса тела (в определенном возрасте в зависимости от пола), если средний рост изменится на 1 см.
   • по формуле уравнения регрессии (см п. 4) определить, какой будет в среднем, например, масса тела (у, у 2 , у 3 ...)* для определеного значения роста (х, х 2 , х 3 ...).
     ________________
     * Величину "у" следует рассчитывать не менее чем для трех известных значений "х".

     При этом средние значения массы тела и роста (М х, и М у) для определенного возраста и пола известны

   • вычислить сигму регрессии, зная соответствующие величины σ у и r ху и подставляя их значения в формулу (см. п. 6).
   • на основании известных значений х 1 , х 2 , х 3 и соответствующих им средних значений у 1 , у 2 у 3 , а также наименьших (у - σ rу/х)и наибольших (у + σ rу/х) значений (у) построить шкалу регрессии.

     Для графического изображения шкалы регрессии на графике сначала отмечаются значения х, х 2 , х 3 (ось ординат), т.е. строится линия регрессии, например зависимости массы тела (у) от роста (х).

     Затем в соответствующих точках у 1 , y 2 , y 3 отмечаются числовые значения сигмы регрессии, т.е. на графике находят наименьшее и наибольшее значения у 1 , y 2 , y 3 .

10. Практическое использование шкалы регрессии . Разрабатываются нормативные шкалы и стандарты, в частности по физическому развитию. По стандартной шкале можно дать индивидуальную оценку развития детей. При этом физическое развитие оценивается как гармоничное, если, например, при определенном росте масса тела ребенка находится в пределах одной сигмы регрессии к средней расчетной единице массы тела - (у) для данного роста (x) (у ± 1 σ Ry/x).

    Физическое развитие считается дисгармоничным по массе тела, если масса тела ребенка для определенного роста находится в пределах второй сигмы регрессии: (у ± 2 σ Ry/x)

    Физическое развитие будет резко дисгармоничным как за счет избыточной, так и за счет недостаточной массы тела, если масса тела для определенного роста находится в пределах третьей сигмы регрессии (у ± 3 σ Ry/x).

По результатам статистического исследования физического развития мальчиков 5 лет известно, что их средний рост (х) равен 109 см, а средняя масса тела (у) равна 19 кг. Коэффициент корреляции между ростом и массой тела составляет +0,9, средние квадратические отклонения представлены в таблице.

Требуется:

• рассчитать коэффициент регрессии;
• по уравнению регрессии определить, какой будет ожидаемая масса тела мальчиков 5 лет при росте, равном х1 = 100 см, х2 = 110 см, х3= 120 см;
• рассчитать сигму регрессии, построить шкалу регрессии, результаты ее решения представить графически;
• сделать соответствующие выводы.

Условие задачи и результаты ее решения представлены в сводной таблице.

Таблица 1

Решение .

Вывод. Таким образом, шкала регрессии в пределах расчетных величин массы тела позволяет определить ее при любом другом значении роста или оценить индивидуальное развитие ребенка. Для этого следует восстановить перпендикуляр к линии регрессии.

1. Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
2. Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
3. Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
4. Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
5. Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
6. С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.

Что такое регрессия?

Рассмотрим две непрерывные переменные x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение , если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x , причём изменения в y вызываются именно изменениями в x , мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x ), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова "регрессия" исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей "регрессировал" и "двигался вспять" к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y - зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »

• a - свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).
• b - угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия .

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b - выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y - предсказанный y , Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

"Влиятельное" наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть "влиятельным" наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для "влиятельных" наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

- оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Y = b0 + b1 P

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b0 + b1 P2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 (Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 (Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на.40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся "внутри диапазона."

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию (-.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p<.001 .

Итог

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.